!Peter Lohmander 98-11-13 (modified 99-10-13);
!Du har som uppgift att maximera nuvärdet av de nettointäkter som Du kan påverka. Du hanterar en naturresurs, exempelvis ett skogsinnehav. Lagret av denna naturresurs kan Du ändra över tiden genom att ta ut mer eller mindre (avverkning alt. fiske). Du ansvarar för detta från och med nu (under evig tid). You should maximize the present value of the net revenues which you can influence. You are the manager of a natural resource, for instance a forest. The stock of the natural reource can be changed over time by changes in the harvest level. You are responsible for this from now and for ever.
Varje tidssteg (period) i detta problem avser 5 år.
Every time step represents five years.
Vi har tre alterativa lagernivåer, 1, 2 och 3. Om Du exempelvis väljer att gå från lagernivå 2 till lagernivå 1 (i nästa period, d.v.s. 5 år senare) så utfaller direkt 12 MSEK (netto). (Se Tabell 1.) We have tree possible stock levels, 1, 2 and 3. If you select to go from stock level 2 (this period) to stock level 1 (in the next period, 5 years later) then you instantly get 12 MSEK (net revenue). (Look at Table 1.)
Om Du inte tar ut någonting (avverkning) alls av resursen i en viss period
så växer lagret ett steg till nästa period. Då får man inget netto under det
"steget". Exempelvis, om vi går från lagernivå 1 till 2 så blir tabellens värde
0. Om man ligger kvar på samma lagernivå (exempelvis går från nivå 3 till nivå
3) så tar man ut tillväxten. Detta ger enligt tabellen 7 MSEK direkt. If you do not harvest anything at all, the stock level grows one
step until the next period. Then you get no net revenue during this time period.
For instance, if you go from stock level 1 to stock level 2, the net revenue
right now is 0. If you stay at the same stock level, you harvest exactly the
growth. If you stay at the same stock level (for instance if you go from stock
level 3 to stock level 3) you get 7 MSEK.
| To level 1 | To level 2 | To level 3 | |
| From level 1 | 5 | 0 | impossible |
| From level 2 | 12 | 6 | 0 |
| From level 3 | 25 | 15 | 7 |
Table 1.
Tabellen ovan
visar det antal MSEK netto som direkt utfaller när vi går från en lagernivå (nu)
till en lagernivå i följande period (fem år senare). Kapitalmarknadens ränta på bästa alternativa
placering i kontinuerlig tid = r. The table shows the net
revenue which is obtained directly if we go from one stock level (now) to
another stock level in the next period (five years later). The rate of interest
in the capital market in continuous time = r.
MISSION:
Formulera nuvärdemaximeringsproblemet (optimeringsproblemet) med hjälp av
linjär programmering för dynamisk programmering i Markovkedja. Svaret skall
följa standard för linjär programmering. Svaret får gärna formuleras för LINDO
alternativt LINGO. I så fall ska svaret vara komplett i alla avseenden. Nuvärdet
om lagret ursprungligen är 1 kallas w1. Nuvärdet om lagret ursprungligen är 2
kallas w2. Nuvärdet om lagret ursprungligen är 3 kallas w3. Beskriv hur man med
hjälp av resultatutskriften från optimeringen (om man verkligen har genomfört
optimeringen med hjälp av linjär programmering) vet vilka beslut som är
optimala, d.v.s.. hur man ska flytta sig mellan lagernivåer!;
Formulate the present value maximization problem with the help of
linear programming for dynamic programming in a Markov chain. The answer should
follow the linear programming standard. You may formulate it for LINDO or LINGO.
In that case, the answer should be complete in every sence. The present value
(in case the stock level initially is 1) should be denoted w1. The present value
(in case the stock level initially is 2) should be denoted w2. The present value
(in case the stock level initially is 3) should be denoted w3. Describe how the
output is used when you want to determine the optimal
decisions.
min = w1 + w2 + w3;
r = .03;
a = @exp(-5*r);
[t11]w1 > 5 + a*w1;
[t12]w1 > 0 + a*w2;
[t21]w2 > 12 + a*w1;
[t22]w2 > 6 + a*w2;
[t23]w2 > 0 + a*w3;
[t31]w3 > 25 + a*w1;
[t32]w3 > 15 + a*w2;
[t33]w3 > 7 + a*w3;
-----------------------------------------------------------------------
Optimal solution found at step: 0 Objective value: 179.4790
Variable Value Reduced Cost
W1 51.10898 0.0000000E+00
W2 59.38016 0.0000000E+00
W3 68.98991 0.0000000E+00
R 0.3000000E-01 0.0000000E+00
A 0.8607080 0.0000000E+00
Row Slack or Surplus Dual Price
T11 2.119073 0.0000000E+00
T12 0.0000000E+00 -7.179162
T21 3.390256 0.0000000E+00
T22 2.271183 0.0000000E+00
T23 0.0000000E+00 -7.179162
T31 0.0000000E+00 -7.179162
T32 2.880927 0.0000000E+00
T33 2.609744 0.0000000E+00
------------------------------------------------------------------------------------------------